Cho đường thẳng Δ có phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x=5t\\y=-1+6t\\z=2\end{matrix}\right.\) và mặt phẳng 2x-y-4z+3=0. Hình chiếu vuông góc d' của Δ lên mặt phẳng (P) theo phương d: \(\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y}{4}=\dfrac{z+3}{-1}\)
Cho mặt phẳng \(\left(P\right):x+2y-2z+3=0\) và đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=1+t\\y=1+t\\z=9\end{matrix}\right.\)
Lập phương trình đường thẳng d' là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P) ?
Đường thẳng d đi qua A (1; 1; 9) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow{a}\left(1;1;0\right)\). Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (P)
Cho điểm A(1,2,3)
đenta 1\(\left\{{}\begin{matrix}x=2-t\\y=t\\z=-1+2t\end{matrix}\right.\)
đenta 2 \(\left\{\dfrac{x+1}{1}=\dfrac{y}{1}=\dfrac{z-2}{-1}\right\}\)
a) Lập phương trình đường thẳng đenta1, đenta2 và vuông góc với mặt phẳng (P): x+y+z=0
b) Lập phương tình đường vuông góc chung của đường thẳng đenta 1 , đenta2
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: x - 3 2 = y + 2 1 = z + 1 - 1 và mặt phẳng có phương trình (P): x+y+z+2=0. Đường thẳng Δ nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với đường thẳng d đồng thời khoảng cách từ giao điểm I của d với (P) đến Δ bằng 42 . Gọi M(5;b;c) là hình chiếu vuông góc của I trên Δ . Giá trị của bc bằng:
A. -10.
B. 10
C. 12
D. -20
Trong hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng \(\Delta\) vuông góc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) và cắt hai đường thẳng :
\(d:\left\{{}\begin{matrix}x=t\\y=-4+t\\z=3-t\end{matrix}\right.\) và \(d':\left\{{}\begin{matrix}x=1-t'\\y=-3+t'\\z=4-5t'\end{matrix}\right.\)
1) Giải hệ phương trình
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d : y = 3x + \(m^2\) -1 và parabol (P) : y = \(x^2\)
a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.
b) Gọi \(x_1\) và \(x_2\) là hoành độ các giao điểm của d và (P). Tìm m để \(\left(x_1+1\right)\left(x_2+1\right)=1\)
Câu 1:
ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne1\\y\ne-2\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2x-2+2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{3}{x-1}-\dfrac{2}{y+2}=4\\\dfrac{2}{x-1}+\dfrac{1}{y+2}=3\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{6}{x-1}-\dfrac{4}{y+2}=8\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{-7}{y+2}=-1\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{y+2}=9\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+2=7\\\dfrac{6}{x-1}+\dfrac{3}{7}=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=5\\\dfrac{6}{x-1}=\dfrac{60}{7}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-1=\dfrac{7}{10}\\y=5\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{17}{10}\left(nhận\right)\\y=5\left(nhận\right)\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left(x,y\right)=\left(\dfrac{17}{10};5\right)\)
Câu 2:
a) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là:
\(x^2=3x+m^2-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x-m^2+1=0\)
\(\Delta=\left(-3\right)^2-4\cdot1\cdot\left(-m^2+1\right)\)
\(=9-4\left(-m^2+1\right)=9+4m^2-4=4m^2+5>0\forall m\)
Vậy: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\left\{{}\begin{matrix}x=2+t\\y=-3+2t\\z=1+3t\end{matrix}\right.\) lần lượt trên các mặt phẳng sau :
a) (Oxy)
b) (Oyz)
a) Xét mặt phẳng (P) đi qua d và (P) ⊥ (Oxy), khi đó ∆ = (P) ∩ (Oxy) chính là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (Oxy).
Phương trình mặt phẳng (Oxy) có dạng: z = 0 ; vectơ (0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của (Oxy), khi đó và ( 1 ; 2 ; 3) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng (P).
= (2 ; -1 ; 0) là vectơ pháp tuyến của (P).
Phương trình mặt phẳng (P) có dạng:
2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0
hay 2x - y - 7 = 0.
Đường thẳng hình chiếu ∆ thỏa mãn hệ:
Điểm M0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆ ; vectơ chỉ phương của ∆ vuông góc với và vuông góc với , vậy có thể lấy = (1 ; 2 ; 0).
Phương trình tham số của hình chiếu ∆ có dạng:
.
Chú ý :
Ta có thể giải bài toán này bằng cách sau:
Lấy hai điểm trên d và tìm hình chiếu vuông góc của nó trên mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng đi qua hai điểm đó chính là hình chiếu cần tìm.
Chẳng hạn lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là N1 (2 ; -3 ; 0), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oxy) là N2(0 ; -7 ; 0).
Đườn thẳng ∆ qua N1, N2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oxy).
Ta có : (-2 ; -4 ; 0) // (1 ; 2 ; 0).
Phương trình tham số của ∆ có dạng:
.
b) Tương tự phần a), mặt phẳng (Oxy) có phương trình x = 0.
lấy M1( 2 ; 3 ; -1) ∈ d và M2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d, hình chiếu vuông góc của
M1 trên (Oxy) là M'1 (0 ; -3 ; 1), hình chiếu vuông góc của M2 trên (Oyz) là chính nó.
Đườn thẳng ∆ qua M'1, M2 chính là hình chiếu vuông góc của d lên (Oyz).
Ta có: (0 ; -4 ; -6) // (0 ; 2 ; 3).
Phương trình M'1M2 có dạng:
.
Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình đường tròn tiếp xúc với đường thẳng △ : \(\left\{{}\begin{matrix}x=-3+7t\\y=1+t\end{matrix}\right.\)tại điểm M(-5;2) và có tâm thuộc đường thẳng d: 2x - y - 6 = 0
Đề bài sai
Điểm \(M\left(-5;2\right)\) không thuộc \(\Delta\) nên (C) ko thể tiếp xúc với \(\Delta\) tại M
Đường thẳng Δ có phương trình tham số: \(\left\{{}\begin{matrix}x=1+2t\\y=-3-t\end{matrix}\right.\) và 2 điểm M(2;3), N(4;2)
Viết phương trình đường thẳng d' đi qua O biết (Δ,d')=450
Lời giải:Điểm M,N có vẻ không có vai trò gì trong bài toán.
Ta có: $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(2,-1)$
$\overrightarrow{u_{d'}}=(a,b)$
\(\cos (\Delta, d')=\frac{\overrightarrow{u_{\Delta}}.\overrightarrow{u_d'}}{|\overrightarrow{u_{\Delta}}||\overrightarrow{u_d'}|}=\frac{2a-b}{\sqrt{a^2+b^2}.\sqrt{5}}=\cos 45^0=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
$\Rightarrow a=3b$ hoặc $a=-\frac{b}{3}$
PTĐT $d'$ là:
$-x+3y=0$ hoặc $3x+y=0$
Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ có phương trình x − 2 1 = y + 3 2 = z − 1 3 . Tìm phương trình tham số của đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của Δ trên mặt phẳng O y z .
A. x = 0 y = 3 + 2 t z = − 1 + 3 t
B. x = 0 y = − 3 + 2 t z = 1 + 3 t
C. x = − 2 + t y = 0 z = 0
D. x = 2 + t y = 0 z = 0
Đáp án B.
Δ : x − 2 1 = y + 3 2 = z − 1 3
Lấy M 2 ; − 3 ; 1 và N 3 ; − 1 ; 4 là hai điểm thuộc Δ.
⇒ M ' 0 ; − 3 ; 1 và N ' 0 ; − 1 ; 4 lần lượt là hình chiếu của hai điểm M; N trên mặt phẳng (Oxy)
⇒ u d → = M ' N ' → = 0 ; 2 ; 3 ⇒ d : x = 0 y = − 3 + 2 t z = 1 + 3 t